Come passare dalla griglia di 3 alla griglia di 4 conservando lo stesso modulo

Come costruire una griglia con righello e compasso ? Come mantenere la stessa unità di griglia[1] qualora volessimo passare a una griglia superiore? La griglia di composizione o di proporzione è uno dei principali strumenti della geometria applicata al tracciato regolatore. In quest’articolo , presentiamo un metodo di costruzione attraverso l’esempio della griglia di 3[2] e del passaggio alla griglia di 4 e vedremo che questo metodo evidenzia alcune caratteristiche geometriche tipiche di questo tracciato.

Piccolo promemoria sul concetto di griglia e sulla pratica della geometria

La griglia di composizione o di proporzione, denominata comunemente « quadrettatura », è utilizzata dagli artisti per suddividere in quadretti un disegno o un dipinto, per poter variarne la scala o per farne una copia. Questo metodo era già noto presso gli egiziani, come mostra l’ostracon sul quale sono disegnati, all’interno di un riquadro, un gatto, un leone e uno stambecco(664-332 a.C.)[3].

Ciononostante, sarebbe riduttivo limitarne l’uso solo a questa funzione. Attraverso la costruzione e lo studio delle griglie, scopriamo una grande ricchezza di forme. Le griglie unite alle misure, ai numeri e alle orientazioni[4], divengono uno strumento formidabile per coloro che ne hanno padronanza.

Prima di proseguire l’esposizione, occorre precisare che questa maniera di praticare la geometria fa appello innanzi tutto all’osservazione, alla percezione delle forme e delle figure[5], ai legami e alle combinazioni che emergono nel corso dei tracciati. Peraltro , può essere di supporto nell’accompagnamento al processo creativo per i progettisti (architetti, artisti, scultori, etc.) che utilizzano la geometria nell’elaborazione del proprio lavoro.

Come tracciare la griglia di 3

Innanzi tutto, cominciate tracciando il cerchio, la verticale e l’orizzontale passanti per il centro del cerchio, i quattro petali e le due linee oblique (fig. 1). In seguito, disegnate il quadrato orizzontale ABCD i cui vertici sono determinati dalle intersezioni delle linee oblique che uniscono i vertici dei petali con il cerchio.

Tracciate le diagonali dei quattro doppi quadrati[6] interni al quadrato ABCD. La trama così ottenuta, simile a una rosa dei venti, permette di costruire la maggior parte delle griglie.

Indicate sul disegno il quadrato EFGH e l’ottagono IJKLMNOP (fig. 1), vedremo più tardi i loro rapporti di superficie con il quadrato ABCD.

Infine, costruite la griglia di 3 tracciando le linee orizzontali e verticali passanti per i vertici I, K, M e O dell’ottagono IJKLMNOP (fig. 2).

Come passare dalla griglia di 3 alla griglia di 4, mantenendo la stessa dimensione della quadrettatura

Per passare dalla griglia di 3 a quella di 4, mantenendo le dimensioni del modulo, è sufficiente suddividere i lati dei nove moduli in due parti uguali, ciò che equivale a realizzare la griglia di 6.

Per realizzare questa operazione, tracciate le sei linee passanti per le intersezioni delle verticali e delle orizzontali della griglia di 3 e le diagonali dei doppi quadrati. Le intersezioni sono indicate nell’illustrazione in basso (fig. 3) con dei punti gialli.

Ci sono due possibili metodi per trovare i punti che determinano il perimetro del quadrato nel quale è inscritta la griglia di 4 (fig. 4). Il primo utilizza il righello e il secondo il compasso. I due metodi possono essere associati per diminuire gli errori legati alle incognita del tracciato (spessore della matita, la scala del disegno, etc.).

Metodo 1 : tracciate otto cerchi lungo le intersezioni dei lati del quadrato e degli assi realizzati precedentemente, il loro raggio corrispondente alla metà di un modulo.

Méthode 2 : Metodo 2 : tracciate quattro linee, che spezzerano gli assi della griglia di 6 e passanti per il centro della figura e per i punti indicati in giallo, come da illustrazione in alto (fig. 4).

Unendo gli otto punti, potrete tracciare il perimetro del quadrato che contiene la griglia di 4.

Il diametro dei due cerchi inscritti nel quadrato IKMO e di centro A, equivale al lato del modulo IKMO. Le griglie di 3 e la griglia di 4 hanno, quindi, la stessa unità e mantengono la stessa orientazione (fig. 5).

Analogie tra i due quadrati rovesciati inscritti nelle griglie di 3 e di 4

Dopo aver tracciato i quadrati QRST e U’V’W’X’ interni alle griglie di 3 e di 4 e le loro diagonali (fig. 6), constatiamo che i lati di QRST sono le diagonali di quattro doppi quadrati (√5) e che le loro diagonali sono quelle di due tripli quadrati (√10). I lati del quadrato U’V’W’X’ sono le diagonali di tripli quadrati (√10) e le sue due diagonali sono anche quelle di due doppi quadrati (√5).

Possiamo osservare che le diagonali e i lati di questi due quadrati diventano a loro volta le diagonali di doppi quadrati e di tripli quadrati.

Qualche rapporto di superficie

Per concludere, di seguito qualche rapporto di superficie che possiamo trovare in questo tipo di tracciato geometrico.

La superficie EFGH è equivalente a un quinto della superficie del quadrato ABCD (fig. 1).

La superficie IJKLMNOP è equivalente a un sesto di quella del quadrato ABCD (fig. 1).

Questa è un’evidenza, ma è sempre bene ricordarla : la superficie del modulo (quadrato IKMO) della griglia di 3 è equivalente a un nono di quella del quadrato ABCD (fig. 2).

La superficie del quadrato U’V’W’X’ è due volte più grande di quella del quadrato QRST. Per verificarlo è sufficiente contare sulla figura 6 il numero dei triangoli isosceli di QRST (quattro triangoli) e di U’V’W’X’ (otto triangoli) (fig. 6).

Tracciando delle line che passano per i punti U’, V’, W’, X’ e per il centro del quadrato ABCD, otteniamo un quadrato la cui superficie equivale a quattro quinti di quella di ABCD (fig. 7).