Comment passer de la grille de 3 à la grille de 4 en conservant le même module 

Comment construire une grille à la règle et au compas ? Comment conserver le même pas de grille[1] lorsque nous souhaitons passer à une grille supérieure ? La grille de composition ou de proportion est un outil majeur de la géométrie appliquée au tracé régulateur. Dans cet article, nous vous présentons une méthode de construction à travers l’exemple de la grille de 3[2] et de son passage en grille de 4. Nous verrons que cette méthode met en évidence certaines caractéristiques géométriques liées à ce type de tracé.

Petit rappel sur le concept de grille et sur la pratique de la géométrie

La grille de composition ou de proportion, dénommée communément par le terme “quadrillage”, est utilisée par les artistes pour mettre au carreau un dessin ou une peinture dans le but d’un changement d’échelle ou d’en faire une copie. Cette méthode était déjà connue des Égyptiens comme le montre l’ostracon sur lequel sont dessinés, dans un carroyage, un chat, un lion et un bouquetin (664-332 avant J.‑C.)[3].

Cependant, il serait réducteur de limiter le carroyage à cette fonction. À travers la construction et l’étude des grilles, nous découvrons une grande richesse de formes. Alliées à la mesure, aux nombres et aux orientations[4], elles deviennent un outil formidable pour celui qui sait les apprivoiser.

Avant d’aller plus loin dans cet exposé, nous tenons à préciser que cette manière de pratiquer la géométrie fait appel avant tout à l’observation, à la perception des formes et des figures[5], aux liens et combinaisons qui apparaissent lors de leurs tracés. Par ailleurs, nous l’envisageons comme un support pour accompagner le processus créatif des concepteurs (architectes, artistes, sculpteurs, etc.) qui utilisent la géométrie dans l’élaboration de leurs travaux.

Comment tracer la grille de 3 

Tout d’abord, commencez par tracer le cercle, la verticale et l’horizontale passant par le centre du cercle, les quatre pétales et les deux obliques (fig. 1). Ensuite, dessinez le carré horizontal ABCD dont les sommets sont déterminés par le croisement des obliques qui relient les sommets des pétales avec le cercle.

Tracez les diagonales des quatre doubles carrés[6] internes au carré ABCD. La trame ainsi obtenue, ressemblant à une rose des vents, permet de construire la plupart des grilles.

Indiquez sur le dessin le carré EFGH et l’octogone IJKLMNOP (fig. 1). Nous verrons plus tard leurs rapports de surface avec le carré ABCD.

Enfin, construisez la grille de 3 en traçant les lignes horizontales et verticales passant par les sommets I, K, M et O de l’octogone IJKLMNOP (fig. 2).

Comment passer de la grille de 3 à la grille de 4 en conservant la même dimension du quadrillage 

Pour passer de la grille de 3 à la grille de 4 en conservant les dimensions du module, il suffit de subdiviser les côtés des neufs modules en deux parties égales. Ce qui revient à réaliser la grille de 6.

Pour réaliser cette opération, tracez les six lignes passant par les intersections des verticales et des horizontales de la grille de 3 et les diagonales des doubles carrés. Ces intersections sont indiquées dans l’illustration ci-dessous (fig. 3) par des points jaunes.

Deux méthodes sont possibles pour trouver les points qui déterminent le périmètre du carré dans lequel est inscrit la grille de 4 (fig. 4). La première utilise la règle et la seconde le compas. Elles peuvent être associées pour diminuer les erreurs liées aux aléas du tracé (épaisseur du crayon, échelle du dessin, etc.).

Méthode 1 : tracez huit cercles aux croisements des côtés du carré (grille de 3) et des axes réalisés précédemment. Leurs rayons correspondent à la moitié d’un module.

Méthode 2 : tracez quatre lignes, qui viendront couper les axes de la grille de 6, passant par le centre de la figure et par les points indiqués en jaune comme le montre l’illustration ci-dessous (fig. 4).

Ainsi, vous pouvez tracer le périmètre du carré, qui contient la grille de 4, en reliant les huit points.

Les deux cercles, inscrits dans le carré IKMO et de centre A, ont le même diamètre soit le côté du module IKMO. Les grilles de 3 et la grille de 4 ont, donc, le même pas et gardent la même orientation (fig. 5).

Analogies entre les deux carrés basculés inscrits dans les grilles de 3 et de 4

Après avoir tracé les deux carrés QRST et U’V’W’X’ internes aux grilles de 3 et de 4 et leurs diagonales (fig. 6). Nous constatons que les côtés de QRST sont les diagonales de quatre doubles carrés (√5) et que leurs diagonales sont celles de deux triples carrés (√10). Les côtés du carré U’V’W’X’ sont les diagonales de triples carrés (√10) et ses deux diagonales sont aussi celles de deux doubles carrés (√5).

Nous pouvons observer que les diagonales et les côtés de ces deux carrés deviennent tour à tour des diagonales de doubles carrés et de triples carrés.

Quelques rapports de surfaces

Pour conclure, voici quelques rapports de surfaces que nous pouvons trouver dans ce type de tracé géométrique.

La surface EFGH est équivalente à un cinquième de la surface du carré ABCD (fig. 1).

La surface IJKLMNOP est équivalente à un sixième de celle du carré ABCD (fig. 1).

Ceci est une évidence, cependant, elle est toujours bonne à rappeler. La surface du module (carré IKMO) de la grille de 3 est équivalent à un neuvième de celle du carré ABCD (fig. 2).

La surface du carré U’V’W’X’ est deux fois plus grande que celle du carré QRST. Pour le vérifier, il suffit de compter sur la figure 6 le nombre de triangles isocèles de QRST (quatre triangles) et U’V’W’X’ (huit triangles) (fig. 6).

En traçant des lignes qui passent par les points U’, V’, W’, X’ et par le milieu du carré ABCD, nous obtenons un carré qui a une surface équivalente aux quatre cinquièmes de celle de ABCD (fig. 7).